Bevor rechtlich geklagt wird, können noch andere Register gezogen werden. Zuerst würde ich es schriftlich versuchen, wie Andrea oben schreibt mit Verweis auf informelle Selbstbestimmung und Fristsetzung. Am besten dann versenden als Einschreiben, damit ein Nachweis vorhanden ist.
Ferner würde ich erwägen, ob über die unkooperative Klinik eine oder zwei schriftliche Beschwerden eingereicht wird. Dafür zuständig sind das Bundesamt für Soziale Sicherung in Bonn und das jeweilige Gesundheits- und Sozialministerium des Landes. Über diesen Link sind die Kontaktdaten zu finden. Demnach kann man die Beschwerde an beide Aufsichtsbehörden (Bund + Land) senden.
p.s.: Ich wünsche viel Kraft für den weiteren Weg!